Paradossi
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"Nessuno sa che questa affermazione è vera."

L'enunciato che segue e' falso
L'enunciato precedente e' vero

L'AUTORIFERIMENTO
Questa proposizione è falsa.

IL PARADOSSO DI EPINEMIDE
"Tutti i Cretesi sono bugiardi, come ha detto uno dei loro stessi poeti".

ACHILLE E LA TARTARUGA
Zenone è un filosofo greco del quinto secolo a.C. Tra i paradossi più famosi di questo pensatore c'è quello della gara di corsa tra Achille e la tartaruga:
La Tartaruga ha cento metri di vantaggio, ma Achille corre cento volte più veloce di lei. Mentre la Tartaruga percorre un metro, Achille ne percorre cento. Quando la tartaruga copre un centimetro, Achille corre per un metro e così via per un numero infinito di passi. Il punto è che andando avanti in questo modo, Achille non raggiungerà mai la Tartaruga!
Un suggerimento: non è necessariamente vero che un numero infinito di istanti di tempo, sommati tra di loro, dia luogo a un tempo infinitamente lungo.

IL PARADOSSO DI RUSSEL
"Mi sembra che una categoria a volte sia, e a volte no, elemento di se stessa. La categoria dei cucchiaini da tè, ad esempio, non è essa stessa un cucchiaino da tè; tuttavia, la categoria degli oggetti che non sono cucchiaini da tè è una delle cose che, appunto, non sono cucchiaini da tè... [questo] mi indusse a considerare le categorie che non sono elementi di se stesse; esse, così mi sembrava, devono formare una categoria. Mi chiesi se quest'ultima fosse, o meno, un elemento di se stessa. In caso effermativo, dovrebbe possedere le proprietà che definiscono la categoria, ossia quella di non essere un elemento di se stessa. Ma se non fosse elemento di se stessa dovrebbe essere priva della proprietà che definisce la categoria, e pertanto sarebbe elemento di se stessa. Come si vede, ogni alternativa porta al suo opposto, e c'è una contraddizione."

IL BARBIERE DI SIVIGLIA
C'è una città dove fuori della bottega di un barbiere è appeso un cartello con su scritto: "Il barbiere rade tutti e solo coloro che non si radono da soli".
Ma da chi viene raso il barbiere?

IL DILEMMA DI MONTY HALL
In un gioco a premi viene messa in palio una Mercedes. Il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse (che chiameremo simbolicamente A, B e C) e lo assicura che la macchina è dietro una delle porte, mentre dietro a ciascuna delle altre due c'e' una capra. Il presentatore invita il concorrente a scegliere una delle porte. Dopo la scelta (diciamo la porta A), il presentatore apre una delle due porte che il concorrente non ha scelto, per mostrargli che lì non c'era la macchina. A questo punto, il presentatore dà l'opportunità al concorrente di cambiare la sua scelta, scegliendo eventualmente la porta B. E' conveniente farlo?

La risposta è: sì! Ed è assolutamente controintuitivo. Infatti si direbbe che, una volta aperta la porta C, le probabilità che la macchina sia dietro A oppure dietro B sono le stesse (1/2 e 1/2). In realtà le cose non stanno così, perché il presentatore ha un vincolo: quello di non aprire la porta A.

I casi che si possono verificare sono tre:

Porta A Porta B Porta C

1° caso Mercedes Capra Capra
2° caso Capra Mercedes Capra
3° caso Capra Capra Mercedes

Di conseguenza se si sceglie la porta A nel primo caso si indovina, nel secondo e terzo caso no, quindi se si resta sulla decisione A si ha una probabilita' su tre di trovare la macchina, se invece si cambia porta nel primo caso si trova la capra, nel secondo e terzo caso la mercedes, poiche' il conduttore aprirebbe rispettivamente la porta C e B. Cambiando si ha dunque i 2/3 delle possibilita' di trovare la macchina!!! Tutto sta nel fatto che non si specifica la porta che apre il conduttore (una delle due restate!), in caso contrario infatti il caso numero tre andrebbe scartato!.

Matematicamente:
A = { la macchina è dietro A }
B = { la macchina è dietro B }
C = { la macchina è dietro C }
D = { il presentatore apre la porta C }

P(A|D) = P(D|A)P(A) / P(D) (formula di Bayes)

Ora, sappiamo che:
P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
P(D|A) = 1/2 (se la macchina è dietro A, il presentatore può aprire la porta C o la porta B)
P(D|B) = 1 (se la macchina è dietro B, il presentatore deve aprire per forza la porta C)
P(D|C) = 0 (se la macchina è dietro C, il presentatore non apre C)
P(D) = P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C) = (1/2*1/3)+(1*1/3)+0 = 1/2
=> P(A|D) = (1/2*1/3) / 1/2 = 1/3

Quindi la probabilità che, sapendo che dietro C non c'è la macchina, essa sia dietro la porta A è 1/3! Mentre la probabilità che essa sia dietro B è 2/3!

IL PARADOSSO DEL PRIGIONIERO
Ci sono tre prigionieri in un carcere di massima sicurezza: Alberto, Bernardo e Carlo. Un bel giorno arriva l'avviso che ci saranno due grazie. Alberto, che è il più curioso, chiede al secondino il nome di chi sarà graziato per prima e questo gli dice Carlo. Allora Alberto pensa di avere 1/2 delle probabilità di essere graziato per secondo. Ma questo non è vero! La soluzione è analoga a quella del dilemma di Monty Hall.

IL PARADOSSO DELL'AVVOCATO
Si racconta che Protagora, antico filosofo greco, avesse insegnato legge a un povero studente di nome Euatlo, a condizione che Euatlo lo ricompensasse non appena vinta la sua prima causa. Dopo aver completato gli studi, Euatlo abbandonò il proposito di praticare la professione dell'avvocatura e decise invece di seguire la carriera politica. Protagora stanco di aspettare il pagamento, citò l'antico allievo in giudizio per fargli mantenere la promessa. Le argomentazioni dei due di fronte alla corte furono impeccabili.Protagora faceva questo ragionamento: se Euatlo avesse perso la causa, allora avrebbe dovuto obbedire alla corte e quindi pagare; se, invece, Euatlo avesse vinto, allora avrebbe vinto la sua prima causa e avrebbe dunque dovuto onorare l'antica promessa. Le ragioni di Euatlo non erano meno stringenti: se avesse vinto la causa, la corte avrebbe emesso una sentenza a lui favorevole, ovvero non avrebbe dovuto pagare Protagora; d'altra parte, se avesse perso la causa, nemmeno in questo caso avrebbe dovuto pagare Protagora, perché ancora non avrebbe vinto la sua prima causa

I CAMMELLI
Un arabo, morendo, lasciò ai i suoi tre figli 17 cammelli in eredità, e ordinò che la metà di essi fosse data al primo, la terza parte al secondo e la nona al terzo figlio. I figli, incapaci di eseguire le volontà del padre, si rivolsero al Cadì. Questi venne col proprio cammello, che unì agli altri; quindi diede la metà dei 18 cammelli, cioè 9, al primo figlio; un terzo, cioè 6, al secondo; un nono, cioè due, al terzo. Infine, ripreso il proprio cammello, se ne andò, ringraziato calorosamente dai tre figli, ognuno dei quali aveva avuto più di quello che si aspettava.

IL COMMA 22
Dal Codice Militare Spaziale del Pianeta Klingon.
Articolo 12, Comma 1: L'unico motivo valido per chiedere il congedo dal fronte è la pazzia.
Articolo 12, Comma 22: Chiunque chieda il congedo dal fronte non è pazzo.

PARMENIDE ...detto anche paradosso del non essere.
E' possibile dare la definizione del non essere, di ciò che non è?

LA PREVISIONE
Un condannato a morte riceve un messaggio di questo tipo, da parte del boia.
L'esecuzione avverrà la settimana prossima in un giorno a sorpresa che tu non potrai in alcun modo prevedere.
Il condannato ragiona così: "non può essere sabato, perché giunto a venerdì senza essere stato ucciso, io potrei prevederlo;
non può essere neppure venerdì perché giunto a giovedì ancora vivo potrei prevederlo;
non può essere giovedì perché..." In conclusione, se il boia mantiene quanto ha detto, non può eseguire la sentenza!

IL CINEMA INFINITO
Immaginiamo un cinema con infiniti posti tutti numerati con i numeri interi.
I posti sono tutti occupati, ma ad un certo punto entrano 10 nuovi spettatori. Possono trovare posto?
Sì, basta dire ad ogni spettatore seduto di osservare il numero n del suo sedile e spostarsi nel sedile n+10.
Poiché per ogni n esiste n+10 tutti troveranno posto ed in più si libereanno i primi 10 posti.
Ma c'è di più: anche se fossero entrati 100 nuovi spettatori avrebbero tutti trovato posto a sedere.
Ma c'è di più: anche se arrivano non 10, non 100, non 1000, ma infiniti nuovi spettatori, c'è ugualmente posto per tutti! Come? Basta dire ad ogni spettatore seduto di osservare il numero n del suo sedile e spostarsi nel sedile 2n. In questo modo vengono occupati solo i posti pari e si liberano tutti i posti dispari, che sono infiniti. Dite che ci sarà una gran confusione?

LE 2 PROPOSIZIONI
Ecco due affermazioni. Una delle due è falsa.

ERRORI
"In questo elenco ci sono due errori.
Roma è la capitale dell'Italia.
Due per due è uguale a cinque.
Il gatto è un mammifero."

L'ESAME
Un alunno, ad un esame di logica, sta andando molto male. Ad un certo punto il professore gli dice:
- Ti farò un'ultima domanda, se risponderai esattamente passerai l'esame, altrimenti sarai respinto.
Ecco la domanda:
- Passerai questo esame?
- Come faccio a saperlo?
- Questa non è una risposta ma un'altra domanda. Devi darmi una risposta chiara: sì o no. Se è esatta passerai altrimenti no.
Lo studente da la risposta e passa l'esame. Qual'è la risposta?
L'alunno risponde: "No"
Se non passerà l'esame allora la sua risposta sarà esatta, perciò dovrà passare l'esame.
Se passerà l'esame la risposta sarà errata, perciò non passerà l'esame.
Data la contraddizione, il professore, che soffre di esaurimento nervoso, gli fa passare l'esame.

L'ESPLORATORE
L'Acuto Esploratore fu catturato da una tribù di cannibali. I cannibali però erano Bravi e gli lasciarono una scelta: poteva essere cotto arrosto oppure bollito.
Per scegliere, l'Acuto Esploratore, doveva pronunciare una frase tale che, se era vera sarebbe stato cotto arrosto, e se era falsa sarebbe stato bollito.
Bisogna precisare due cose:
- l'Esploratore era Acuto;
- i cannibali, oltre ad essere Bravi, erano Logici, e comunque avevano il freezer pieno di carne congelata.
L'Acuto Esploratore riuscì a salvarsi: come?
L'Acuto esploratore disse: "Morirò bollito."
Se questa frase è vera allora i cannibali devono cuocerlo arrosto, ma così facendo la frase diventa falsa. Se la frase è falsa devono cuocerlo bollito, ma così facendo la frase diventa vera. Nel dubbio, i cannibali mangiarono la carne surgelata che avevano nel freezer.